Question

如圖，四面體中，、分別是、的中點，

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的余弦值；

（3）求點到平面的距離。

 

Answer 1

【答案】

(1)證明：連結OC.

∵BO=DO,AB=AD, ∴AO⊥BD.∵BO=DO,BC=CD, ∴CO⊥BD.

在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=.

而AC=2,∴AO²+CO²=AC^2,∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.

∴AB平面BCD.

（Ⅱ）解：取AC的中點M,連結OM、ME、OE，由E為BC的中點知ME∥AB,OE∥DC.

∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角.

在△OME中，

是直角△AOC斜邊AC上的中線，∴

∴∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為

（Ⅲ）解：設點E到平面ACD的距離為h.

,  ∴·S_△ACD =·AO·S_△CDE.

在△ACD中，CA=CD=2,AD=,∴S_△ACD=

而AO=1, S_△CDE=∴h=

∴點E到平面ACD的距離為.

方法二：（Ⅰ）同方法一：

（Ⅱ）解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則B(1，0，0)，D(-1，0，0)，

C(0，，0)，A(0,0,1),E(,,0), 

∴

∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為

（Ⅲ）解：設平面ACD的法向量為n=(x,y,z),則   

   ∴

令y=1，得n=(-)是平面ACD的一個法向量.   又

∴點E到平面ACD的距離 h=

 

【解析】略