Question

已知函數f（x）=2sinxcosx+cos2x（x∈R）．
（1）當x取什么值時，函數f（x）取得最大值，并求其最大值；
（2）若θ為銳角，且f(θ+

π

8

)=

2

3

，求tanθ的值．

Answer 1

分析：（1）由倍角公式，把2sinxcosx化為sin2x，再用換角化式把2x角化為2x+

π

4

角，把這個角看成一個整體角X，利用正弦函數的有界性得最大值．
（2）把θ+

π

8

代入f（x）的解析式得f（θ+

π

8

）的解析式，
①解法1，由f（θ+

π

8

）的解析式得cos2θ的值，由平方關系及θ角的范圍得sin2θ的值，由商的關系得tan2θ，再由正切的二倍角公式得tanθ的二次方程，分解因式得tanθ的值，再由角的范圍確定唯一的值．
②解法2，由f（θ+

π

8

）的解析式得cos2θ的值，由二倍角公式和θ角的范圍得cosθ的值，由平方關系得sinθ的值，由商的關系得tanθ的值．
③解法3，由f（θ+

π

8

）的解析式得cos2θ的值，由平方關系及θ角的范圍得sin2θ的值，由商的關系得tanθ，分子分母同乘以2cosθ，把角θ化為2θ，代數求值．

解答：解：（1）f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x（1分）
=

2

(

2

2

sin2x+

2

2

cos2x)（2分）
=

2

sin(2x+

π

4

)．（3分）
∴當2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

8

(k∈Z）時，函數f（x）取得最大值，其值為

2

．
（5分）
（2）解法1：∵f(θ+

π

8

)=

2

3

，∴

2

sin(2θ+

π

2

)=

2

3

．（6分）
∴cos2θ=

1

3

．（7分）
∵θ為銳角，即0＜θ＜

π

2

，∴0＜2θ＜π．
∴sin2θ=

1-cos22θ

=

2 2

3

．（8分）
∴tan2θ=

sin2θ

cos2θ

=2

2

．（9分）
∴

2tanθ

1-tan2θ

=2

2

．（10分）
∴

2

tan2θ+tanθ-

2

=0．
∴(

2

tanθ-1)(tanθ+

2

)=0．
∴tanθ=

2

2

或tanθ=-

2

（不合題意，舍去）（11分）
∴tanθ=

2

2

．（12分）
解法2：∵f(θ+

π

8

)=

2

3

，∴

2

sin(2θ+

π

2

)=

2

3

．
∴cos2θ=

1

3

．（7分）
∴2cos2θ-1=

1

3

．（8分）
∵θ為銳角，即0＜θ＜

π

2

，
∴cosθ=

6

3

．（9分）
∴sinθ=

1-cos2θ

=

3

3

．（10分）
∴tanθ=

sinθ

cosθ

=

2

2

．（12分）
解法3：∵f(θ+

π

8

)=

2

3

，∴

2

sin(2θ+

π

2

)=

2

3

．
∴cos2θ=

1

3

．（7分）
∵θ為銳角，即0＜θ＜

π

2

，∴0＜2θ＜π．
∴sin2θ=

1-cos22θ

=

2 2

3

．（8分）
∴tanθ=

sinθ

cosθ

（9分）
=

2sinθcosθ

2cos2θ

（10分）
=

sin2θ

1+cos2θ

=

2

2

．（12分）

點評：本小題主要考查三角函數性質，同角三角函數的基本關系、兩倍角公式等知識，執果索因，在未知和已知之間架好橋梁，考查化歸與轉化的數學思想方法和運算求解能力．