Question

是否存在常數a，b使等式1-n+2-（n-1）+3-（n-2）+…+n-1=an（n+b）（n+2）對于任意的n∈N₊總成立？若存在，求出來并證明；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：可假設存在常數a，b使等式1-n+2-（n-1）+3-（n-2）+…+n-1=an（n+b）（n+2）對于任意的n∈N₊總成立，令n=1與n=2列方程解得a，b再用數學歸納法證明．

解答：解：假設存在常數a，b使等式1-n+2-（n-1）+3-（n-2）+…+n-1=an（n+b）（n+2）對于任意的n∈N₊總成立，
令n=1與n=2得：

1=a(1+b)×3 1×2+2×1=2a(2+b)×4

解得：

a= 1 6 b=1

，
即1-n+2-（n-1）+3-（n-2）+…+n-1=

1

6

n（n+1）（n+2）．
下面用數學歸納法證明：
（1）當n=1時，左邊=1×1=1，右邊=

1

6

×1×1×（1+1）×（1+2）=1，因此左邊=右邊，
∴當n=1時等式成立，
（2）假設當n=k時成立，
即1×k+2×（k-1）+3×（k-2）+…+k×1=

1

6

k（k+1）（k+2），
那么當 n=k+1時，
1×（k+1）+2×[（k+1）-1]+3×[（k+1）-2）]+…+（k+1）×1
=[1×k+2×（k-1）+3×（k-2）+…+k×1]+[1+2+3+…+（k+1）]
=

1

6

k（k+1）（k+2）+

(1+k+1)•(k+1)

2

=

1

6

（k+1）（k+2）（k+3）
=

1

6

（k+1）[（k+1）+1][（k+1）+2]
所以，當 n=k+1時等式也成立．
根據（1）和（2），可知等式對任何n∈N₊都成立．

點評：本題考查數學歸納法，對于本題“是否存在”型的問題，先假設存在，通過題意求得a、b的值，再用數學歸納法予以證明，難點在于n=k+1時，等式成立的證明，要用好歸納假設，屬于中檔題．