Question

【題目】設是各項均為非零實數的數列的前n項和，給出如下兩個命題上：命題p：是等差數列；命題q：等式對任意恒成立，其中k，b是常數.

（1）若p是q的充分條件，求k，b的值；

（2）對于（1）中的k與b，問p是否為q的必要條件，請說明理由；

（3）若p為真命題，對于給定的正整數n和正數M，數列滿足條件，試求 的最大值.

Answer 1

【答案】（1），,（2）必要條件,理由見解析，（3）

【解析】

（1）當是等差數列時，利用裂項求和的方法求得等式左邊表達式的和，化簡得對于恒成立，由此求得.

（2）當時，等式為.利用退作差法，證得數列為等差數列，由此證得是的必要條件.

（3）利用三角換元的方法，將表示三角函數的形式，結合柯西不等式和不等式的性質，求得的最大值.

（1）設的公差為d，則原等式可化為

，

所以，

即對于恒成立，

所以，.

（2）當，時，假設p是q的必要條件，即

“若①對于任意的恒成立，則為等差數列”.

當時，顯然成立.

當時，若②，

由①﹣②得，，

即③.

當時，，即、、成等差數列，

當時，④，

即.所以為等差數列，即p是q的必要條件.

（3）由，可設，所以.

設的公差為d，則，

所以，

所以，

，

所以的最大值為.