Question

（2012•贛州模擬）已知橢圓C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的右頂點A（1，0），過C₁的焦點且垂直長軸的弦長為1．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)點P在拋物線C₂：y=x²+h（h∈R）上，C₂在點P處的切線與C₁交于點M，N．若存在點P，使得線段AP的中點與MN的中點的橫坐標(biāo)相等時，求h的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由橢圓右頂點A（1，0），過C₁的焦點且垂直長軸的弦長為1，建立方程組，即可求出橢圓方程；
（2）不妨設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2+h)，求出直線MN的方程代入橢圓C₁的方程，根據(jù)直線MN與橢圓C₁有兩個不同的交點，所以有△＞0，利用線段AP的中點與MN的中點的橫坐標(biāo)相等，建立方程，從而可得h的取值范圍．

解答：解：（1）由題意得

b=1 2• b2 a =1

，∴

a=2 b=1

，…（3分）
∴所求的橢圓方程為

y2

4

+x2=1…（5分）
（2）不妨設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2+h)，則拋物線C₂在點P處的切線斜率為y'|_x=t=2t，…（6分）
∴直線MN的方程為y=2tx-t²+h，代入橢圓C₁的方程中，得4x²+（2tx-t²+h）²-4=0，
即4（1+t²）x²-4t（t²-h）x+（t²-h）²-4=0，…（7分）
因為直線MN與橢圓C₁有兩個不同的交點，所以有△=16t²（t²-h）²-16（1+t²）[（t²-h）²-4]＞0
即-（t²-h）²+4+4t²＞0，…（8分）
設(shè)線段MN的中點的橫坐標(biāo)是x₃，則x3=

x1+x2

2

=

t(t2-h)

2(1+t2)

，
設(shè)線段PA的中點的橫坐標(biāo)是x₄，則x4=

t+1

2

，
由題意得x₃=x₄，即有t²+（1+h）t+1=0，顯然t≠0
∴h=-

t2+t+1

t

=-(t+

1

t

+1)（t≠0）…（9分）
∴t⁴+2t³-2t²+2t+1＜0，即（t²+t+1）²-5t²＜0
解得-

(1+ 5 )+ 2(1+ 5 )

2

＜t＜

-(1+ 5 )+ 2(1+ 5 )

2

而-

(1+ 5 )+ 2(1+ 5 )

2

＜-1＜

-(1+ 5 )+ 2(1+ 5 )

2

＜0
又h=-

t2+t+1

t

=-(t+

1

t

+1)在(-

(1+ 5 )+ 2(1+ 5 )

2

，-1)上遞增，
在(-1，

-(1+ 5 )+ 2(1+ 5 )

2

)上遞減…（11分）
∴當(dāng)t=-1時，h取到最小值1；…（12分）
當(dāng)t=-

(1+ 5 )+ 2(1+ 5 )

2

或t=

-(1+ 5 )+ 2(1+ 5 )

2

時，h的值都為

5

∴h的取值范圍是[1，

5

)…（13分）

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，考查拋物線的切線，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查計算能力，屬于中檔題．