Question

已知函數g（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，0＜φ＜π）的圖象如圖所示，其中點A（

π

3

，2）、B（

11π

6

，0）分別是函數的最大值點和零點．
（I）求函數y=g（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數f（x）=2g（x）cosx+m在[0，

π

2

]上的最大值為6，求函數f（x）在R上的最小值及相應的x值的集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據圖象可知

3

4

×T=

11π

6

-

π

3

，解得T的值，進而求得w，再根據頂點坐標可得A=2，將點A點的坐標代入函數y=g（x），可得sin（

π

3

+φ）=1，結合0＜φ＜π求得 φ，從而得到函數解析式．
（Ⅱ）根據兩角和差的正弦函數化簡f（x）的解析式為2sin（2x+

π

6

）+m+1，根據x的范圍求得f（x）的最大值為2+m+1=6，求得m的值，即可確定f（x）的解析式，由此求得函數取得最小值時x值的集合．

解答：解：（Ⅰ）根據圖象可知

3

4

×T=

11π

6

-

π

3

，解得T=2π． 再由

2π

w

=2π，可得w=1．
由頂點坐標可得A=2，所以，g（x）=2sin（x+φ），
將點A點的坐標代入函數y=g（x），可得sin（

π

3

+φ）=1，∴

π

3

+φ=2kπ+

π

2

，k∈z．
再結合0＜φ＜π求得 φ=

π

6

．
所以，g（x）=2sin（x+

π

6

）．…（6分）
（Ⅱ）f（x）=2g（x）cosx+m=4sin（x+

π

6

）cosx+m=4（

3

2

sinx+

1

2

cosx）cosx+m
=2

3

sinxcosx+2cos²x+m=

3

sin2x+2cos2x+1+m=2sin（2x+

π

6

）+m+1．…（9分）
由x∈[0，

π

2

]，得 2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，于是函數f（x）的最大值為2+m+1=6，解得m=3．
所以f（x）=2sin（2x+

π

6

）+4．
當x∈R時，f（x）的最小值為-2+4=2，此時x滿足2x+

π

6

=2kπ+

3π

2

，k∈z，
相應的x值的集合為{x|x=kπ+

2π

3

，k∈z}．…（12分）

點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，兩角和差的正弦函數，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．