Question

（甲）如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面A₁C⊥底面ABC，∠ABC=90°，BC=2，AC=2

3

，又AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C．
（1）求側棱A₁A與底面ABC所成的角的大小；
（2）求側面A₁B與底面所成二面角的大小；
（3）求點C到側面A₁B的距離．
（乙）在棱長為a的正方體OABC-O'A'B'C'中，E，F分別是棱AB，BC上的動點，且AE=BF．
（1）求證：A'F⊥C'E；
（2）當三棱錐B'-BEF的體積取得最大值時，求二面角B'-EF-B的大小（結果用反三角函數表示）．

Answer 1

分析：甲（1）由題意畫出圖形由于側面A₁C⊥底面ABC，所以A₁A與底面ABC所成的角為∠A₁AC，解出即可；
（2）由題意及圖形利用二面角平面角的概念即可求二面教的大小；
（3）由題意利用三棱錐的等體積進行輪換可得距離．
乙（1）由于幾何體為長方體，利用條件建立空間直角坐標系，寫出各個點的空間坐標利用向量的知識和等體積法求出距離；
（2）利用條件及所給圖形利用二面角的平面角的定義，設出BF=x，BE=y，則x+y=a，利用均值不等式求出BE，BF的長度，再在三角線中進行求解出二面角的大小．

解答：（甲）（1）∵側面A₁C⊥底面ABC，∴A₁A在平面ABC上的射影是AC、A₁A與底面ABC所成的角為∠A₁AC．
∵A₁A=A₁C，A₁A⊥A₁C，∴∠A₁AC=45°．

（2）作A₁O⊥AC于O，則A₁O⊥平面ABC，再作OE⊥AB于E，連接A₁E，則A₁E⊥AB，
所以∠A₁EO就是側面A₁B與底面ABC所成二面角的平面角．
在Rt△A₁EO中，A1O=

1

2

AC=

3

，OE=

1

2

BC=1，
∴tan∠A1EO=

A1O

OE

=

3

．∠A₁EO=60°．

（3）設點C到側面A₁B的距離為x．
∵VA1-ABC=VC-A1BC，
∴

1

3

•A1O•S△ABC=

1

3

•x•S△A1BC?A1O•S△ABC=x•S△ABC．（*）
∵A1O=

3

，OE=1，∴A1E=

3+1

=2．
又AB=

(2 3 )2-22

=2

2

，∴S△A1AB=

1

2

•2

2

•2=2

2

．
又S△ABC=

1

2

×2×2

2

=2

2

．∴由（*）式，得2

2

=x•2

2

=1．∴x=1

（乙）（1）證明：如圖，以O為原點建立空間直角坐標系．
設AE=BF=x，則A'（a，0，a），F（a-x，a，0），C'（0，a，a），E（a，x，0），
∴

A′F

=（-x，a，-a），

C′E

=（a，x-a，-a）．
∵

A′F

•

C′E

=-xa+a(x-a)+a2=0，
∴A'F⊥C'E．

（2）解：記BF=x，BE=y，則x+y=a，則三棱錐B'-BEF的體積為V=

1

6

xya≤

a

b

(

x+y

2

)2=

1

24

a2．
當且僅當x=y=

a

2

時，等號成立，因此，三棱錐B'-BEF的體積取得最大值時，BE=BF=

a

2

．
過B作BD⊥BF交EF于D，連接B'D，則B'D⊥EF．
∴∠B'DB是二面角B'-EF-B的平面角．在Rt△BEF中，直角邊BE=BF=

a

2

，BD是斜邊上的高，∴BD=

2

4

在Rt△B'DB中，tan∠B′DB=

B′B

BD

=2

2

．故二面角B'-EF-B的大小為arctan2

2

．

點評：甲（1）此問重點考查了面面垂直的性質定理及線面角的定義；
（2）此問重點考查了二面角的平面角的概念及在三角形中求解三角形的角的大小；
（3）此問重點考查了利用三棱錐的等體積可以進行定點輪換求其體積進而可以求點到面的距離．
乙（1）此問重點考查了利用長方體的特點建立空間直角坐標系．利用向量的知識解決線線垂直的證明；
（2）此問重點考查了利用向量的知識和設出變量利用均值不等式的求出最值時的線段長度，進而求解出二面角的大小，還考查了反三角的知識．