Question

（2010•棗莊模擬）已知a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量

C

滿足(a+

c

2

)•(b+

c

2

)=0，則|

c

|的最大值是（　　）

• A．2
• B．4
• C．2

  2

• D．4

  2

Answer 1

分析：利用向量數量積的定義及運算法則，得出

a

•

b

+

1

2

（

a

+

b

）•

c

+

1

4

c

²=0，若θ為向量

a

+

b

與

c

夾角，整理得出|

c

|=-2

2

cosθ≤2

2

．當且僅當θ=π時取等號．

解答：解：∵

a

，

b

是平面內兩個互相垂直的單位向量，
∴

a

•

b

=0，|

a

+

b

|=

2

．
∵(a+

c

2

)•(b+

c

2

)=0，即

a

•

b

+

1

2

（

a

+

b

）•

c

+

1

4

c

²=0，
化簡得2×

2

×|

c

|cosθ+|

c

|²=0，其中θ為向量

a

+

b

與

c

夾角，θ∈[0，π]，
整理|

c

|=-2

2

cosθ≤2

2

．當且僅當θ=π時取等號．
故選C．

點評：本題考查向量數量積的定義及運算法則，三角函數的有界性，函數思想、分離參數求范圍的方法．建立|

c

|=f（θ）=-2

2

cosθ是關鍵．