Question

已知曲線y=x³-8x+2
（1）求曲線在點x=0處的切線方程；
（2）過原點作曲線的切線l：y=kx，求切線方程．

Answer 1

分析：（1）先求出函數的導函數，再求出函數在x=0處的導數即斜率，易求切線方程．
（2）設切點為（x₀，y₀），則直線l的斜率為f'（x₀）=3x₀²-8，從而求得直線l的方程，由條件直線1過原點可求解切點坐標，進而可得直線1的方程．

解答：解：（1）∵f'（x）=（x³-8x+2）'=3x²-8，
∴在點x=0處的切線的斜率k=f^′（0）=-8，且f（0）=2，
∴切線的方程為y=-8x+2．
（2）設切點為（x₀，y₀），則直線l的斜率為f'（x₀）=3x₀²-8，
∴直線l的方程為y=（3x₀²-8）（x-x₀）+x₀³-8x₀+2．
又∵直線l過點（0，0），∴0=（3x₀²-8）（-x₀）+x₀³-8x₀+2，
整理，得x₀³=-1，∴x₀=-1，直線l的斜率k=3×（-1）²-8=-5，
∴直線l的方程為y=-5x．

點評：此題考查學生會利用導數研究曲線上某點的切線方程，是一道綜合題．學生在解決此類問題一定要分清“在某點處的切線”，還是“過某點的切線”；同時解決“過某點的切線”問題，一般是設出切點坐標解決．