Question

已知m＞1，直線l：x-my-

m2

2

=0，橢圓C：

x2

m2

+y²=1，F₁、F₂分別為橢圓C的左、右焦點．
（Ⅰ）當直線l過右焦點F₂時，求直線l的方程；
（Ⅱ）設直線l與橢圓C交于A、B兩點，△AF₁F₂，△BF₁F₂的重心分別為G、H．若原點O在以線段GH為直徑的圓內，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把F₂代入直線方程求得m，則直線的方程可得．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線與橢圓方程聯立消去x，根據判別式大于0求得m的范圍，且根據韋達定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，根據

AG

=2

GO

，

BH

=2

H0

，可知G（

x1

3

，

y1

，3

），h（

x2

3

，

y，2

，3

），表示出|GH|²，設M是GH的中點，則可表示出M的坐標，進而根據2|MO|＜|GH|整理可得x₁x₂+y₁y₂＜0把x₁x₂和y₁y₂的表達式代入求得m的范圍，最后綜合可得答案．

解答：解：（Ⅰ）解：因為直線l：x-my-

m2

2

=0，經過F₂（

m2-1

，0），
所以

m2-1

=

m2

2

，得m²=2，
又因為m＞1，所以m=

2

，
故直線l的方程為x-

2

y-1=0．
（Ⅱ）解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

x=my+ m2 2 x2 m2 +y2=1

，消去x得
2y²+my+

m2

4

-1=0
則由△=m²-8（

m2

4

-1）=-m²+8＞0，知m²＜8，
且有y₁+y₂=-

m

2

，y₁y₂=

m2

8

-

1

2

．
由于F₁（-c，0），F₂（c，0），故O為F₁F₂的中點，
由

AG

=2

GO

，

BH

=2

H0

，可知G（

x1

3

，

y1

，3

），H（

x2

3

，

y2

3

）
|GH|²=

(x1-x2)2

9

+

(y1-y2)2

9

設M是GH的中點，則M（

x1+x2

6

，

y1+y2

6

），
由題意可知2|MO|＜|GH|
即4[（

x1+x2

6

）²+（

y1+y2

6

）²]＜

(x1-x2)2

9

+

(y1-y2)2

9

即x₁x₂+y₁y₂＜0
而x₁x₂+y₁y₂=（my₁+

m2

2

）（my₂+

m2

2

）+y₁y₂=（m²+1）（

m2

8

-

1

2

）
所以（

m2

8

-

1

2

）＜0，即m²＜4
又因為m＞1且△＞0
所以1＜m＜2．
所以m的取值范圍是（1，2）．

點評：本題主要考查橢圓的幾何性質，直線與橢圓，點與圓的位置關系等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．