Question

給出下列命題：
①存在實(shí)數(shù)α使sinα•cosα=1成立；
②存在實(shí)數(shù)α使sinα+cosα=

3

2

成立；
③函數(shù)y=sin(

5π

2

-2x)是偶函數(shù)；     
④x=

π

8

是函數(shù)y=sin(2x+

5π

4

)的圖象的一條對稱軸的方程；
其中正確命題的序號是（　　）

A．①③

B．②③④

C．③④

D．①③④

Answer 1

分析：根據(jù)二倍角公式得到sinαcosα=

1

2

sin2α，結(jié)合正弦函數(shù)的值域可判斷①正誤；
根據(jù)兩角和與差的正弦公式可得到sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）結(jié)合正弦函數(shù)的可判斷②正誤；
根據(jù)誘導(dǎo)公式得到 y=sin(

5π

2

-2x)=sin(

π

2

-2x)=cos2x，再由余弦函數(shù)的奇偶性可判斷③正誤；
將x=

π

8

代入到y=sin(2x+

5π

4

)得到sin(2×

π

8

+

5π

4

)=sin

3π

2

=-1，根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性可判斷④正誤．

解答：解：對于①，由sinα•cosα=1，得sin2α=2，矛盾；
對于②，由sinα+cosα=

3

2

，得

2

sin（α+

π

4

）=

3

2

，矛盾；
對于③，y=sin(

5π

2

-2x)=sin(

π

2

-2x)=cos2x，是偶函數(shù)；
對于④，把x=

π

8

代入y=sin(2x+

5π

4

)得y=sin(2×

π

8

+

5π

4

)=sin

3π

2

=-1，x=

π

8

是函數(shù)y=sin(2x+

5π

4

)的圖象的一條對稱軸方程．
故③④正確
故選 C．

點(diǎn)評：本題主要考查二倍角公式、兩角和與差的公式、誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的對稱性．考查三角函數(shù)公式的綜合應(yīng)用．三角函數(shù)的公式比較多，很容易記混，平時要注意積累．是基礎(chǔ)題