Question

（2013•陜西）設S_n表示數列{a_n}的前n項和．
（Ⅰ） 若{a_n}為等差數列，推導S_n的計算公式；
（Ⅱ） 若a₁=1，q≠0，且對所有正整數n，有S_n=

1-qn

1-q

．判斷{a_n}是否為等比數列，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（I）設等差數列的公差為d，則a_n=a₁+（n-1）d，可得a₁+a_n=a₂+a_n-1=…，利用“倒序相加”即可得出；
（II）利用a_n+1=S_n+1-S_n即可得出a_n+1，進而得到a_n，利用等比數列的通項公式即可證明其為等比數列．

解答：證明：（Ⅰ）設等差數列的公差為d，則a_n=a₁+（n-1）d，可得a₁+a_n=a₂+a_n-1=…，
由S_n=a₁+a₂+…+a_n，
S_n=a_n+a_n-1+…+a₁．
兩等式相加可得2S_n=（a₁+a_n）+（a₂+a_n-1）+…+（a_n+a₁），
∴Sn=

n(a1+an)

2

=na1+

n(n-1)

2

d．
（II）∵a₁=1，q≠0，且對所有正整數n，有S_n=

1-qn

1-q

．
∴a_n+1=S_n+1-S_n=

1-qn+1

1-q

-

1-qn

1-q

=qⁿ．
∴an=

1，n=1 qn-1，n≥2

，可得an=qn-1（n∈N^*），
∴數列{a_n}是以a₁=1為首項，q≠1為公比的等比數列．

點評：熟練掌握等差數列的通項公式及“倒序相加”法、等比數列的定義及通項公式、通項公式與前n項和的公式是解題的關鍵．