Question

已知點P（4，4），圓C：（x-m）²+y²=5（m＜3）與橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）有一個公共點A（3，1），F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，直線PF₁與圓C相切．
（Ⅰ）求m的值與橢圓E的方程；
（Ⅱ）設Q為橢圓E上的一個動點，求

AP

•

AQ

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用點A在圓上求出m，再利用直線PF₁與圓C相切求出直線PF₁與的方程以及c，再利用點A在橢圓上求出2a，即可求出橢圓E的方程；
（2）先把

AP

•

AQ

用點Q的坐標表示出來，再利用Q為橢圓E上的一個動點以及基本不等式即可求出

AP

•

AQ

的取值范圍．

解答：解：（1）點A代入圓C方程，得（3-m）²+1=5．
∵m＜3，
∴m=1．
設直線PF₁的斜率為k，
則PF₁：y=k（x-4）+4，即kx-y-4k+4=0．
∵直線PF₁與圓C相切，圓C：（x-1）²+y²=5，
∴

|k-0-4k+4|

k2+1

=

5

，
解得k=

11

2

，或k=

1

2

．
當k=

11

2

時，直線PF₁與x軸的交點橫坐標為

36

11

，不合題意，舍去．
當k=

1

2

時，直線PF₁與x軸的交點橫坐標為-4，
∴c=4．
∴F₁（-4，0），F₂（4，0）．
故2a=AF₁+AF₂=5

2

+

2

=6

2

，a=3

2

，a²=18，b²=2．
橢圓E的方程為：

x2

18

+

y2

2

=1．
（2）

AP

=(1， 3)，設Q（x，y），

AQ

=(x-3， y-1)，

AP

•

AQ

=(x-3)+3(y-1)=x+3y-6．
∵

x2

18

+

y2

2

=1，即x²+（3y）²=18，而x²+（3y）²≥2|x|•|3y|，
∴-18≤6xy≤18．
則（x+3y）²=x²+（3y）²+6xy=18+6xy的取值范圍是[0，36]．
∴x+3y的取值范圍是[-6，6]
∴x+3y-6的范圍只：[-12，0]．
即

AP

•

AQ

的取值范圍是[-12，0]．

點評：本題是對圓與橢圓知識的綜合考查．當直線與圓相切時，可以利用圓心到直線的距離等于半徑求解．，也可以把直線與圓的方程聯立讓對應方程的判別式為0求解．