Question

（本小題滿分12分）

已知函數其中，

（I）若求的值；（4分）         

（Ⅱ）在（I）的條件下，若函數的圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，

①       求函數的解析式；（4分）②求最小正實數，使得函數的圖象向左平移個單位時對應的函數是偶函數.（4分）

 

Answer 1

【答案】

（I）. （Ⅱ）最小正實數。

【解析】

試題分析：（I）利用特殊角的三角函數值化簡cos cosφ-sin ，sinφ=0，根據|φ|＜ ，直接求出φ的值；

（Ⅱ）解法一：在（I）的條件下，若函數f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，求出周期，求出ω，得到函數f（x）的解析式；函數f（x）的圖象向左平移m個單位所對應的函數是偶函數．推出m=  (k∈Z)，可求最小正實數m．

解法二：在（I）的條件下，若函數f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于

，求出周期，求出ω，得到函數f（x）的解析式；利用g（x）是偶函數當且僅當g（-x）=g（x）對x∈R恒成立，使得函數f（x）的圖象向左平移m個單位所對應的函數是偶函數．化簡cos(3m+ )=0，然后再求最小正實數m．

解法一：（I）由得……2分

即又.………………4分

（Ⅱ）①由（I）得，………………5分

依題意，又.………………7分

故……………………8分

②函數的圖象向左平移個單位后所對應的函數為…9分

是偶函數當且僅當………………10分

即，從而，最小正實數.……………………12分

解法二：（I）同解法一………………4分

（Ⅱ）由（I）得，    依題意，

又，故………………8分

函數的圖像向左平移個單位后所對應的函數為 

是偶函數當且僅當對恒成立……………9分

亦即對恒成立。

即對恒成立。……………………10分

故……………………11分

從而，最小正實數……………………12分

考點：本試題主要考查了三角函數的字母變量的求法，三角函數的圖象的平移，偶函數的性質，轉化思想的應用，考查計算能力，是�？碱}，中檔試題。

點評：解決該試題的關鍵是利用兩角和差的公式得到第一問的值，對于第二問，要熟練運用三角函數的性質得到。