Question

已知F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0），點P滿足|PF1|+|PF2|=2

3

，記點P的軌跡為E
（Ⅰ）求軌跡E的方程；
（Ⅱ）設軌跡E與直線y=kx+m（k≠0）相交于不同的兩點M，N．已知A（0，-1），當|AM|=|AN|時，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接由橢圓的定義求得橢圓的軌跡方程；
（Ⅱ）設出直線與橢圓的交點M，N的坐標，設出MN的中點坐標，利用點差法得到M，N的坐標及其中點坐標與k的關系，把MN的中點代入直線方程得到直線方程中m與k的關系，由中點在橢圓內部求得m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0），
點P滿足|PF1|+|PF2|=2

3

，
∵|PF1|+|PF2|=2

3

＞2

2

=|F1F2|，
∴點P的軌跡為以F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0）為焦點的橢圓，且a=

3

，c=

2

，
則b²=a²-c²=1．
∴點P的軌跡為E的方程為：

x2

3

+y2=1；
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中點Q（x₀，y₀），則有
x12+3y12=3    ①，
x22+3y22=3   ②
②-①得：（x₂-x₁）（x₂+x₁）+3（y₂-y₁）（y₂+y₁）=0  ③
x₂+x₁=2x₀，y₂+y₁=2y₀，

y2-y1

x2-x1

=k，代入③得
x₀+3ky₀=0  ④
∵AM=AN，
∴AQ⊥MN，
∴

y0+1

x0

=-

1

k

，即
x₀+ky₀+k=0  ⑤
④⑤聯立解得：Q（-

3k

2

，

1

2

）
代入y=kx+m得：

1

2

=-

3k2

2

+m，
m=

3k2+1

2

  ⑥
∵Q在橢圓面區域內部，
∴(-

3k

2

)2+(

1

2

)2＜1，
即0≤3k²＜1
∴

1

2

≤

3k2+1

2

＜1．
即m∈[

1

2

，1）．

點評：本題考查了軌跡方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了“點差法”在解題中的應用，是中檔題．