Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a1=2，an+1=2(1+

1

n

)2•an．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設bn=(An2+Bn+C)•2n(A，B，C為常數(shù))．若對一切n∈N^*都有a_n=b_n+1-b_n恒成立．求A、B、C的值；
（3）求證：a1+a2+a3+

…+an

+6≥2n+2．

Answer 1

分析：（1）確定數(shù)列{

an

n2

}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，由此可知數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由題題意知若a_n=b_n+1-b_n恒成立，則An²+（4A+B）n+2A+2B+C=n²恒成立，由此能解出A=1，B=-4，C=6；
（3）利用數(shù)學歸納法進行證明．

解答：（1）解：∵an+1=2(1+

1

n

)2•an
∴

an+1

(n+1)2

=2×

an

n2

∵a₁=2，∴數(shù)列{

an

n2

}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n=2ⁿ•n²；
（2）解：因為b_n+1-b_n=[An²+（4A+B）n+2A+2B+C]•2ⁿ，
若a_n=b_n+1-b_n恒成立，則An²+（4A+B）n+2A+2B+C=n²恒成立，
所以

A=1 4A+B=0 2A+2B+C=0

，解出A=1，B=-4，C=6；
（3）證明：n=1時，2+6=2³，結論成立；
假設n=k時，結論成立，即a1+a2+a3+

…+ak

+6≥2k+2
則n=k+1時，左邊=a1+a2+a3+

…+ak+1

+6≥2k+2+2k+1•(k+1)2＞2^k+2+2^k+2=2^k+3，即結論成立
綜上，a1+a2+a3+

…+an

+6≥2n+2．

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，考查等比數(shù)列的證明，考查不等式的證明，綜合性強．