Question

【題目】一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.

（1）請按字母F、G、H標記在正方體相應地頂點處(不需要說明理由)；
（2）判斷平面BEG與平面ACH的位置關系．并說明你的結論；
（3）證明：直線DF⊥平面BEG.

Answer 1

【答案】
（1）解：點F、G、H的位置如圖所示．

（2）解：平面BEC∥平面ACH ． 證明如下：
因為ABCD－EFGH為正方體，所以BC∥FG ， BC＝FG ，
又FG∥EH ， FG＝EH ， 所以BC∥EH ， BC＝EH ，
于是四邊形BCEH為平行四邊形，
所以BE∥CH ，
又CH平面ACH ， BE平面ACH ，
所以BE∥平面ACH ，
同理，BG∥平面ACH ，
又BE∩BG＝B ，
所以平面BEG∥平面ACH ．
（3）證明：連接FH交EG于點O ， 連接BD ．
因為ABCD－EFGH為正方體，所以DH⊥平面EFGH ，
因為EG平面EFGH ， 所以DH⊥EG ，
又EG⊥FH ， EG∩FH＝O ，
所以EG⊥平面BFHD ，
又DF平面BFHD ， 所以DF⊥EG ，
同理DF⊥BG ，
又EG∩BG＝G ，
所以DF⊥平面BEG ．
【解析】（1）將該正方體的展開還原為空間幾何體即可。
（2）重點考查了平面與平面平行的判定：一個平面內的兩條相交直線平行于另一個平面,則這兩平面平行.
（3）重點考查了直線與平面垂直的判定：若一條直線垂直于一個平面內兩條相交直線,則該直線與此平面垂直。