Question

(本題滿分12分)如圖所示，四棱錐的底面為直角梯形，，，，，底面，為的中點.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成的角；

（Ⅲ）求點到平面的距離.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明見解析

（Ⅱ）

（Ⅲ）

【解析】

解法一：（Ⅰ）設與交點為，延長交的延長線于點，

則，∴，∴，∴，

又∵，∴，

又∵，∴，

∴，∴

又∵底面，∴，∴平面，

∵平面，∴平面平面（4分）

（Ⅱ）連結，過點作于點，

則由（Ⅰ）知平面平面，

且是交線，根據面面垂直的性質，

得平面，從而即

為直線與平面所成的角.

在中，，

在中，

. 所以有，

即直線與平面所成的角為（8分）

（Ⅲ）由于，所以可知點到平面的距離等于點到平面的距離的，即. 在中，，

從而點到平面的距離等于（12分）

解法二：如圖所示，以點為坐標原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標系， 則相關點的坐標為

，，，.

（Ⅰ）由于，，

，

所以，

，

所以，

而，所以平面，∵平面，

∴平面平面（4分）

（Ⅱ）設是平面的一個法向量，則，

   由于，，所以有

，

令，則，即，

再設直線與平面所成的角為，而，

所以，

∴，因此直線與平面所成的角為（8分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知是平面的一個法向量，而，

所以點到平面的距離為（12分）