Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）上的點到它的兩個焦點的距離之和為4，以橢圓C的短軸為直徑的圓O經過兩個焦點，A，B是橢圓C的長軸端點．

（1）求橢圓C的標準方程和圓O的方程；
（2）設P、Q分別是橢圓C和圓O上位于y軸兩側的動點，若直線PQ與x平行，直線AP、BP與y軸的交點即為M、N，試證明∠MQN為直角．

Answer 1

【答案】
（1）解：由橢圓定義可得2a=4，又b=c且b2+c2=a2，

解得a=2，b=c= ，即橢圓C的標準方程為 ，

則圓O的方程為x2+y2=2；

（2）證明：設P（x0，y0），直線AP：y=k（x+2）（k≠0），

令x=0可得M（0，2k）．

將 和y=k（x+2）（k≠0）聯立可得

（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣4=0，

則 ， ， ，

故 ，

直線BP的斜率為 ，

直線BP： ，

令x=0可得 ．

設Q（xQ，y0），則 ，

由 ， ，

可得 ，

所以 ，即∠MQN是定值90°

【解析】（1）運用橢圓的定義和a，b，c的關系，解方程可得橢圓的方程和圓的方程；（2）設P（x0 ， y0），直線AP：y=k（x+2）（k≠0），求得M，代入橢圓方程，求得P的坐標，求出直線BP的方程，可得N的坐標，設Q（xQ ， y0），求得向量QM，QN的坐標，運用向量數量積計算即可得證．