Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= x3+ax2﹣8x﹣1（a＜0）．若曲線y=f（x）的切線斜率的最小值是﹣9．求：
（1）a的值；
（2）函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= x3+ax2﹣8x﹣1，

∴f′（x）=x2+2ax﹣8．

∴當(dāng)x=﹣a時(shí)，f′（x）有最小值﹣a2﹣8

由已知：﹣a2﹣8=﹣9，∴a2=1

∵a＜0，∴a=﹣1

（2）解：由（1）f′（x）=x2﹣2x﹣8

令f′（x）=0得x=﹣2或4

當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）及f（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，﹣2）	﹣2	（﹣2，4）	4	（4，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）		極大值		極小值

∴當(dāng)x=﹣2時(shí)，f（x）取得極大值，極大值為f（﹣2）= ；

當(dāng)x=4時(shí)，f（x）取得極小值，極小值為f（4）=﹣

【解析】（1）先求出導(dǎo)函數(shù)的最小值，利用曲線y=f（x）的切線斜率的最小值是﹣9，求出a的值即可；（2）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可得函數(shù)f（x）的極大值和極小值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．