Question

已知函數(shù)f(x)=2sin(x+

α

2

)cos(x+

α

2

)+2

3

cos2(x+

α

2

)-

3

為偶函數(shù)，且α∈[0，π]
（1）求α的值；
（2）若x為三角形ABC的一個(gè)內(nèi)角，求滿足f（x）=1的x的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過(guò)函數(shù)是偶函數(shù)，求出α的值；
（2）若x為三角形ABC的一個(gè)內(nèi)角，通過(guò)f（x）=1得到三角函數(shù)的方程，然后求出x的值．

解答：解：（1）f(x)=2sin(x+

α

2

)cos(x+

α

2

)+2

3

cos2(x+

α

2

)-

3

=sin(2x+α)+

3

cos(2x+α)=2sin(2x+α+

π

3

)
由f（x）為偶函數(shù)得α+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z∴α=kπ+

π

6

，k∈Z又α∈[0，π]∴α=

π

6

（2）由f（x）=1得cos2x=

1

2

又x為三角形內(nèi)角，x∈（0，π）∴x=

π

6

或x=

5π

6

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，二倍角公式、兩角和的正弦函數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，常考題型．