Question

已知函數．
（1）當時，求函數的單調區間；
（2）若函數在處取得極值，對,恒成立，求實數的取值范圍；
（3）當時，求證：．

Answer 1

（1）在上遞減，在上遞增；（2）（3）

試題分析：（1）時，。先求導并通分整理，再令導數大于0得增區間，令導數小于0得減區間。（2）先求導，因為函數在處取得極值，則，可得的值。對,恒成立等價于恒成立，令，求導，討論導數的符號，可得函數的單調性，根據單調性可得函數的最值，則。（3），令，因為則只要證明在上單調遞增。即證在上恒成立。將函數求導，分析其導數的單調性，根據其單調性求最值，證得即可。
（1）
得0<x<,得x>
∴在上遞減，在上遞增.
（2）∵函數在處取得極值，∴，  
∴，   
令，可得在上遞減，在上遞增，
∴，即.
（3）證明：，
令，則只要證明在上單調遞增，
又∵，
顯然函數在上單調遞增．
∴，即，
∴在上單調遞增，即，
∴當時，有.