Question

已知函數f（x）=alnx-ax-3（a∈R），
（1）若函數y=f（x）在點（2，f（2））處的切線斜率為1，求a的值；
（2）在（1）的條件下，對任意t∈[1，2]，函數g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在區間（t，3）總存在極值，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）點（2，f（2））處的切線的斜率為1，即f′（2）=1，可求a值，
（2）在（1）的條件下，得到a的值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在區間（t，3）上總不是單調函數，可知：

g′(1)＜0  g′(2)＜0  g′(3)＞0

，于是可求m的范圍．

解答：解：（1）由于函數y=f（x）在點（2，f（2））處的切線斜率為1，
則f′(2)=-

a

2

=1，解得a=-2，
則a的值為-2；
（2）由（1）知，f（x）=-2lnx+2x-3，
∴函數g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]=x3+(

m

2

+2-

2

x

)x2，
∴g'（x）=3x²+（m+4）x-2
∵g（x）在區間（t，3）上總不是單調函數，且g′（0）=-2
∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0

，
由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：

g′(1)＜0  g′(2)＜0  g′(3)＞0

，∴-

37

3

＜m＜-9．
∴當m∈（-

37

3

，-9）內取值時對于任意的t∈[1，2]，函數g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在區間（t，3）總存在極值．

點評：本題考查利用函數的導數來求函數的單調區間，以及已知函數曲線上一點求曲線的切線方程，考查求導公式的掌握情況，含參數的數學問題的處理，構造函數求解證明不等式問題．