Question

【題目】如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點D是棱BC的中點．
求證：（1）AD⊥C1D；
（2）A1B∥平面ADC1 ．

Answer 1

【答案】證明：（1）因為三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，
所以C1C⊥平面ABC，又AD平面ABC，
所以C1C⊥AD，又點D是棱BC的中點，且△ABC為正三角形，
所以AD⊥BC，因為BC∩C1C=C，所以AD⊥平面BCC1B1 ，
又因為DC1平面BCC1B1 ， 所以AD⊥C1D；
（2）連接A1C交AC1于點E，再連接DE．
因為四邊形A1ACC1為矩形，所以E為A1C的中點，
又因為D為BC的中點，所以ED∥A1B．
又A1B平面ADC1 ， ED平面ADC1 ， 所以A1B∥平面ADC1 ．

【解析】（1）欲證AD⊥C1D，而DC1平面BCC1B1 ， 可先證AD⊥平面BCC1B1 ， 而三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，則C1C⊥平面ABC，又AD平面ABC，
根據線面垂直的性質可知C1C⊥AD，又點D是棱BC的中點，且△ABC為正三角形，從而AD⊥BC，又BC∩C1C=C，滿足定理所需條件；
（2）欲證A1B∥平面ADC1 ， 根據直線與平面平行的判定定理可知只需證A1B與平面ADC1內一直線平行即可，連接A1C交AC1于點E，再連接DE，根據中位線可知ED∥A1B，又A1B平面ADC1 ， ED平面ADC1 ， 滿足定理所需條件．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的性質，需要了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；垂直于同一個平面的兩條直線平行才能得出正確答案．