Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn ， n∈N* ， 已知a1=1，a2= ，a3= ，且當n≥2時，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1 ．
（1）求a4的值．
（2）證明：{an﹣1﹣ an}為等比數列；
（3）求數列{an}的通項公式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1=1，a2= ，a3= ，

∴S1=1，S2= ，S3= ，

又∵4S4+5S2=8S3+S1，

∴S4= （8S3+S1﹣5S2）= （8 +1﹣5 ）= ，

∴a4=S4﹣S3= ﹣ =

（2）證明：∵4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1，

∴4Sn+2﹣4Sn+1+Sn﹣Sn﹣1=4Sn+1﹣4Sn，

∴4an+2+an=4an+1，

整理得：an﹣2an+1=2an+1﹣4an+2，

∴an+1﹣2an+2= （an﹣2an+1），

即an+2﹣ an+1= （an+1﹣ an），

又∵ = ﹣ =1，

∴數列{an+1﹣ an}是以1為首項、 為公比的等比數列

（3）解：由（2）可知an+1﹣ an= ，

∴an+1= an+ ，

∴2n+1an+1=2nan+4，

又∵2a1=2，

∴數列{2nan}是以2為首項、4為公差的等差數列，

∴2nan=2+4（n﹣1）=4n﹣2，

∴an= =

【解析】（1）通過4S4+5S2=8S3+S1 ， 直接代入計算即可；（2）通過對4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1變形可知4Sn+2﹣4Sn+1+Sn﹣Sn﹣1=4Sn+1﹣4Sn ， 即4an+2+an=4an+1 ， 整理得an+1﹣2an+2= （an﹣2an+1），進而計算可得結論；（3）通過（2）可知an+1﹣ an= ，兩邊同時乘以2n+1可知2n+1an+1=2nan+4，進而數列{2nan}是以2為首項、4為公差的等差數列，計算即得結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等比關系的確定和數列的通項公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等比數列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．