Question

極坐標系中，圓C方程ρ=2

3

cosθ-2sinθ，A（

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，2π），以極點作為直角坐標系的原點，極軸作為x軸的正半軸，建立直角坐標系，并在兩種坐標系中取相同的長度單位．
（Ⅰ）求圓C在直角坐標系中的標準方程；
（Ⅱ）設P為圓C上的任意一點，圓心C為線段AB中點，求|PA|•|PB|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接根據ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ得到圓的直角坐標方程；
（Ⅱ）先分別求出A，B的直角坐標，然后利用余弦定理表示出PA與PB，最后根據三角函數的有界性可求出|PA|•|PB|的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵ρ=2

3

cosθ-2sinθ，
∴ρ²=2

3

ρcosθ-2ρsinθ則x²+y²=2

3

x-2y，
即圓C在直角坐標系中的標準方程為（x-

3

）²+（y+1）²=4；
（Ⅱ）A（

3

，2π）的直角坐標為（

3

，0），圓C的圓心坐標為（

3

，-1），
∵圓心C為線段AB中點，
∴點B的坐標為（

3

，-2），AC=BC=1，
設∠ACP=θ，而PC=2，則PA=

AC2+PC2-2AC×PC×cosθ

=

5-4cosθ

，
同理PB=

5+4cosθ

，
∴|PA|•|PB|=

5-4cosθ

•

5+4cosθ

=

25-16cos2θ

≤5，當且僅當cosθ=0時取等號，
∴|PA|•|PB|的最大值為5．

點評：本題主要考查了極坐標與直角坐標的互化，以及最值的研究，同時考查了運算求解的能力和分析問題的能力，屬于中檔題．