Question

【題目】設橢圓中心在坐標原點，A(2,0)，B(0,1)是它的兩個頂點，直線y＝kx(k>0)與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點．

(1)若＝6，求k的值；

(2)求四邊形AEBF面積的最大值．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】(1)依題意得橢圓的方程為＋y2＝1，直線AB，EF的方程分別為x＋2y＝2，y＝kx(k>0)．如圖，設D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1<x2，且x1，x2滿足方程(1＋4k2)x2＝4，故x2＝－x1＝.①

由＝6知x0－x1＝6(x2－x0)，

得x0＝ (6x2＋x1)＝x2＝；

由D在AB上知x0＋2kx0＝2，

得x0＝.

所以＝，

化簡得24k2－25k＋6＝0，

解得k＝或k＝.

(2)根據點到直線的距離公式和①式知，點E，F到AB的距離分別為

h1＝＝，

h2＝＝.

又|AB|＝＝，

所以四邊形AEBF的面積為

S＝|AB|(h1＋h2)

＝··

＝

＝2≤2，

當4k2＝1(k>0)，即當k＝時，上式取等號．

所以S的最大值為2.

即四邊形AEBF面積的最大值為2.