Question

對于函數f（x），g（x），h（x），如果存在實數a，b，使得h（x）=af（x）+bg（x），那么稱h（x）為f（x），g（x）的線性生成函數．
（1）給出如下兩組函數，試判斷h（x）是否分別為f（x），g（x）的線性生成函數，并說明理由．
第一組：f(x)=sinx，g(x)=cosx，h(x)=sin(x+

π

3

)；
第二組：f（x）=x²-x，g（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1．
（2）已知f（x）=log₂x，g（x）=log_0.5x的線性生成函數為h（x），其中a=2，b=1．若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求實數t的取值范圍；
（3）已知f(x)=x，g(x)=

1

x

，x∈[1，10]的線性生成函數h（x），其中a＞0，b＞0．若h（x）≥b對a∈[1，2]恒成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對于第一組：f(x)=sinx，g(x)=cosx，h(x)=sin(x+

π

3

)利用和角公式即可得到sin(x+

π

3

)=

1

2

sinx+

3

2

cosx，即h（x）為f（x），g（x）的線性生成函數．
第二組：f（x）=x²-x，g（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1．若h（x）為f（x），g（x）的線性生成函數，則有：
存在實數a，b，使得x²-x+1=a（x²-x）+b（x²+x+1），利用關于a，b的方程組無解即可得出h（x）不為f（x），g（x）的線性生成函數．
（2）先得到h（x）=2log₂x+log_0.5x=log₂x，當x∈[2，4]時，1≤h（x）≤2，若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，利用換元思想結合二次函數的性質即可求得實數t的取值范圍；
（3）由已知f(x)=x，g(x)=

1

x

，的線性生成函數h（x），其中a＞0，b＞0，可得h（x）=ax+

b

x

，再結合函數h（x）的性質利用恒成立問題的解法即可求得實數b的取值范圍．

解答：解：（1）第一組：f(x)=sinx，g(x)=cosx，h(x)=sin(x+

π

3

)；
若h（x）為f（x），g（x）的線性生成函數，則有：
存在實數a，b，使得sin(x+

π

3

)=asinx+bcosx，
由于sin(x+

π

3

)=

1

2

sinx+

3

2

cosx故上式成立，
即h（x）為f（x），g（x）的線性生成函數．
第二組：f（x）=x²-x，g（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1．
若h（x）為f（x），g（x）的線性生成函數，則有：
存在實數a，b，使得x²-x+1=a（x²-x）+b（x²+x+1），
則：x²-x+1=（a+b）x²-（a-b）x+b，
∴

a+b=1 a-b=1 b=1

這是不可能成立的，
即h（x）不為f（x），g（x）的線性生成函數．
（2）已知f（x）=log₂x，g（x）=log_0.5x的線性生成函數為h（x），其中a=2，b=1．
則：h（x）=2log₂x+log_0.5x=log₂x，當x∈[2，4]時，1≤h（x）≤2，
若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，
即-t＞3h²（x）+2h（x），即要求-t＞3h²（x）+2h（x）最小值即可，
-t＞5，∴t＜-5
∴實數t的取值范圍t＜-5．
（3）由已知f(x)=x，g(x)=

1

x

，的線性生成函數h（x），其中a＞0，b＞0．
得：h（x）=ax+

b

x

，
若h（x）≥b對a∈[1，2]恒成立，
即ax+

b

x

≥b對a∈[1，2]恒成立，
b要小于等于ax+

b

x

的最小值即可，
即b≤2

ab

，即

b

≤2

a

，
由于a∈[1，2]，∴

b

≤2，得出：0＜b≤4
∴實數b的取值范圍是0＜b≤4．

點評：本小題主要考查函數解析式的求解及常用方法、函數恒成立問題、三角變換、不等式等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，屬于基礎題．