Question

點P在以F₁、F₂為焦點的橢圓

x2

16

+

y2

9

=1上運動，則△F₁F₂P的重心G的軌跡方程是

9x2

16

+y2=1（x≠0）

．

Answer 1

分析：求出橢圓

x2

16

+

y2

9

=1的焦點為F₁（-

7

，0），F(xiàn)₂（

7

，0）．設(shè)G（x，y），P（m，n），根據(jù)三角形重心坐標公式建立關(guān)系式，解出m=3x且n=3y，利用點P（m，n）在橢圓上代入題中橢圓方程，化簡即可得到所求△F₁F₂P的重心G的軌跡方程．

解答：解：設(shè)G（x，y），P（m，n），則
∵橢圓

x2

16

+

y2

9

=1中，a=4，b=3，
∴c=

16-9

=

7

，
得橢圓的焦點為F₁（-

7

，0），F(xiàn)₂（

7

，0），
∵G為△PF₁F₂的重心，
∴x=

1

3

（-

7

+

7

+m）=

1

3

m，y=

1

3

（0+0+n）=

1

3

n
解之得m=3x，n=3y
∵點P在橢圓

x2

16

+

y2

9

=1上運動，得

m2

16

+

n2

9

=1
∴將m=3x、n=3y代入，得

9x2

16

+

9y2

9

=1，即

9x2

16

+y2=1
∵P、F₁、F₂三點不共線，可得x≠0
∴△PF₁F₂的重心G的軌跡方程是

9x2

16

+y2=1，（x≠0）
故答案為：

9x2

16

+y2=1（x≠0）

點評：本題給出橢圓的焦點三角形，求三角形的重心G的軌跡方程．著重考查了橢圓的標準方程、三角形的重心坐標和動點軌跡方程的求法等知識，屬于中檔題．