Question

【題目】已知函數.

（1）若函數在定義域內單調遞增，求實數的取值范圍；

（2）對于任意的正實數，且，求證：.

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】

（1）函數在定義域內單調遞增，等價于 對于任意恒成立，即對于任意恒成立，利用基本不等式求出函數最小值，從而可得結果；（2）設.令，則，原不等式等價于，可證明在上遞增.又因為，則，從而可得結論.

（1）依題意，導數 對于任意恒成立，即不等式

對于任意恒成立，即不等式對于任意恒成立;

又因為當時（當時取等號），則，故實數的取值范圍是.

(2)由于目標不等式中兩個字母與可以輪換，則不妨設.令，則.

欲證目標不等式

. （※）

根據（1）的結論知，當時在上遞增.又因為，則

，則不等式（※）正確，故原目標不等式得證.