Question

已知f（x）=x²，g（x）=lnx，直線l：y=kx+b（常數k、b∈R）使得函數y=f（x）的圖象在直線l的上方，同時函數y=g（x）的圖象在直線l的下方，即對定義域內任意x，lnx＜kx+b＜x²恒成立．
試證明：
（1）k＞0，且-lnk-1＜b＜-；
（2）“＜k＜e”是“lnx＜kx+b＜x²”成立的充分不必要條件．

Answer 1

解：（1）根據題意，得
對任意x，lnx＜kx+b，所以k＞…（1分），
因為k、b是常數，所以當x充分大時，lnx＞b，
從而k＞＞0…（2分）．
因為kx+b＜x²即x²-kx-b＞0恒成立，
所以△=（-k）²+4b＜0，得b＜-…（4分）．
因為lnx＜kx+b即kx+b-lnx＞0恒成立，
設h（x）=kx+b-lnx，則h'（x）=k-…（5分），
由h'（x）=0得x=＞0，
∴0＜x＜時，h'（x）＜0，h（x）單調遞減；x＞時時，h'（x）＜0，h（x）單調遞增…（7分），
所以h（x）的極小值從而也是最小值為h（）=1+b-ln=1+b+lnk…（8分），
因為kx+b-lnx＞0恒成立，所以h（）=1+b+lnk＞0，即b＞-lnk-1，從而-lnk-1＜b＜-成立；…（9分）．
（2）由（1）知-lnk-1＜-，從而＜lnk+1，其中k是正數…（10分），
如圖，根據冪函數與對數函數單調性，
可得k應介于曲線f（x）=x²與g（x）=lnx的兩個交點的橫坐標之間，
設這兩個交點橫坐標分別為x₁、x₂，且x₁＜x₂．…（11分），
因為k=時，＜=lnk+1，k=e時，=＜2=lnk+1…（13分），
所以（，e）是（x₁，x₂）的真子集，
由此可得：“＜k＜e”是“lnx＜kx+b＜x²”成立的充分不必要條件．…（14分）．
分析：（1）由lnx＜kx+b恒成立，結合對數函數的性質，得k＞0．由kx+b＜x²恒成立，結合根的判別式可得b＜-．再根據lnx＜kx+b恒成立，討論討論函數h（x）=kx+b-lnx的單調性與最小值，得到h（）=1+b+lnk＞0，從而得原不等式成立．
（2）根據冪函數與對數函數單調性，可得k應介于曲線f（x）=x²與g（x）=lnx的兩個交點的橫坐標之間．通過計算比較f（）與g（）、f（e）與g（e）的大小，可得區間（，e）恰好位于兩交點橫坐標之間，從而證出本題的充分不必要條件．
點評：本題給出介于兩個函數圖象之間的一條線段對應的函數，求證參數的取值范圍并證明充分條件，著重考查了基本初等函數、利用導數研究函數的單調性與最值和充分必要條件的證明等知識，屬于中檔題．