Question

已知雙曲線(a＞0，b＞0)的離心率，過點A(0，－b)和B(a，0)的直線與原點的距離是．
（Ⅰ）求雙曲線的方程及漸近線方程；
（Ⅱ）若直線y＝kx＋5 (k≠0)與雙曲線交于不同的兩點C、D，且兩點都在以A為圓心的同一個圓上，求k的值．

Answer 1

（Ⅰ）,；（Ⅱ）＝

試題分析：本題主要考察雙曲線的標準方程、韋達定理等基礎知識，考察學生運算能力、綜合分析和解決問題的能力.（Ⅰ）離心率為，∴，∴①，直線的方程為即，利用點到直線的距離公式得到：②，兩式聯立，可求出，∴雙曲線方程為，漸近線方程為：；（Ⅱ）兩點在以為圓心的同一個圓上，的中垂線過點,將直線與雙曲線聯立，消去，可得，設，中點為，則∴，解得＝，并檢驗是否滿足(.
試題解析：（Ⅰ）直線的方程為：即 
又原點到直線的距離 
由得                                     3分
所求雙曲線方程為                                4分
（注：也可由面積法求得）
漸近線方程為：                                     5分
（Ⅱ）方法1：由（1）可知（0，－1），設,由
得：                                   7分
∴3＋3＋＝3＋3＋，
整理得： ＝0，
∵，∴，∴， 
又由－10＋25－3＝0  （），
∴y＋y₂＝，                                           10分
＝7，                                                       11分
由△＝100－4（1－3）（25－3）>0 =7滿足此條件，
滿足題設的＝.                                             12分
方法2：設，中點為，
由，         7分
∵，的中垂線過點                          9分
∵∴ 11分
整理得解得＝.（滿足           12分