Question

【題目】給出下列五個命題：

①已知直線、和平面，若，，則；

②平面上到一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡是一條拋物線；

③雙曲線，則直線與雙曲線有且只有一個公共點；

④若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直；

⑤過的直線與橢圓交于、兩點，線段中點為，設直線斜率為，直線的斜率為，則等于.

其中，正確命題的序號為_______.

Answer 1

【答案】④⑤

【解析】

利用線面平行的判定定理可判斷①的正誤；結合拋物線的定義及條件可判斷②的正誤；利用雙曲線漸近線的性質可判斷③的正誤；利用反證法結合線面垂直的定義可判斷④的正誤；利用點差法可判斷⑤的正誤.

①線面平行的前提條件是直線，所以條件中沒有，所以①錯誤；

②當定點位于定直線上時，此時點到軌跡為垂直于直線且以定點為垂足的直線，只有當點不在直線時，軌跡才是拋物線，所以②錯誤；

③因為雙曲線的漸近線方程為，當直線與漸近線平行時直線與雙曲線只有一個交點，當直線與漸近線重合時，沒有交點，所以③錯誤；

④若，，，且與不垂直，

假設，由于，則，這與已知條件矛盾，假設不成立，則與不垂直，所以④正確；

⑤設、，中點，則，，

把，分別代入橢圓方程，

得，兩式相減得，

整理得，即，所以⑤正確.

所以正確命題的序號為④⑤.

故答案為：④⑤.