Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，右頂點為A，P為橢圓C上任意一點．已知

PF1

•

PF2

的最大值為3，最小值為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于M、N兩點（M、N不是左右頂點），且以MN為直徑的圓過點A．求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

分析：（1）先確定|PF₁|+|PF₂|=2a且a-c≤|PF₁|≤a+c，再計算

PF1

•

PF2

，利用

PF1

•

PF2

的最大值為3，最小值為2，建立方程組，即可求得橢圓方程；
（2）將y=kx+m代入橢圓方程得一元二次方程，利用韋達定理，及MN為直徑的圓過點A，即可證得結論．

解答：（1）解：∵P是橢圓上任一點，∴|PF₁|+|PF₂|=2a且a-c≤|PF₁|≤a+c，
∴y=

PF1

•

PF2

=|

PF1

|

|PF2

|cos∠F1PF2=

1

2

[|PF1|2+|PF2|2-4c2]
=

1

2

[|PF1|2+(|2a-|PF1|)2-4c2]=(|PF1|-a)2+a2-2c2…（2分）
當|PF₁|=a時，y有最小值a²-2c²；當|PF₂|=a-c或a+c時，y有最大值a²-c²．
∴

a2-c2=3 a2-2c2=2

，

a2=4 c2=1

，b²=a²-c²=3．
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（2）證明：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），將y=kx+m代入橢圓方程得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴x1+x2=

-8km

4k2+3

，x1x2=

4m2-12

4k2+3

…（6分）
∵y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m，y1y2=k2x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2，
∵MN為直徑的圓過點A，∴

AM

•

AN

=0，
∵右頂點為A，∴A（2，0）
∴

AM

=（x₁-2，y₁），

AN

=（x₂-2，y₂），
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0
∴7m²+16km+4k²=0，
∴m=-

2

7

k或m=-2k都滿足△＞0，…（9分）
若m=-2k直線l恒過定點（2，0）不合題意舍去，
若m=-

2

7

k直線l：y=k(x-

2

7

)恒過定點(

2

7

，0)．…（12分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，聯立方程，正確運用韋達定理是關鍵．