Question

已知函數f（x）=a^x，g（x）=a^2x+m，其中m＞0，a＞0且a≠1．當x∈[-1，1]時，y=f（x）的最大值與最小值之和為

5

2

．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若a＞1，記函數h（x）=g（x）-2mf（x），求當x∈[0，1]時h（x）的最小值H（m）； 
（Ⅲ）若a＞1，且不等式|

f(x)-mg(x)

f(x)

|≤1在x∈[0，1]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用當x∈[-1，1]時，y=f（x）的最大值與最小值之和為

5

2

，可得a+a^-1=

5

2

，由此可得a的值；
（Ⅱ）利用配方法，結合2^x∈[1，2]，分類討論，確定函數的單調性，即可求h（x）的最小值H（m）； 
（Ⅲ）若a＞1，不等式|

f(x)-mg(x)

f(x)

|≤1在x∈[0，1]恒成立，等價于|1-m（2^x+

m

2x

）|≤1，即0≤m（2^x+

m

2x

）≤1
，分類討論確定函數的最值，建立不等式，即可求m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵當x∈[-1，1]時，y=f（x）的最大值與最小值之和為

5

2

，
∴a+a^-1=

5

2

，∴a=2或a=

1

2

；
（Ⅱ）函數h（x）=g（x）-2mf（x）=2^2x+m-2m×2^x=（2^x-m）²+m-m²，
∵x∈[0，1]，∴令t=2^x∈[1，2]，y=（t-m）²+m-m²，
∴①m＜1時，函數h（x）在[0，1]上單調遞增，h（x）的最小值H（m）=h（0）=1-m； 
②1≤m≤2時，函數h（x）在[1，m]上單調遞減，在[m，2]上單調遞增，h（x）的最小值H（m）=h（m）=m-m²；
③m＞2時，函數在h（x）在[0，1]單調遞減，h（x）的最小值H（m）=h（1）=4-3m；
（Ⅲ）若a＞1，不等式|

f(x)-mg(x)

f(x)

|≤1在x∈[0，1]恒成立，等價于|1-m（2^x+

m

2x

）|≤1
即0≤m（2^x+

m

2x

）≤2
所以①m≤0時，

m(1+m)≥0 m(2+ m 2 )≤2

，無解；
②0＜m＜2時，

m×2 m ≥0 m(2+ m 2 )≤2

，∴0＜m＜2；
③m≥2時，

m(1+m)≥0 m(2+ m 2 )≤2

，無解；
綜上，m的取值范圍為（0，2）．

點評：本題考查函數的最值，考查函數的單調性，考查恒成立問題，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．