Question

已知向量

a

=（2，1），

b

=（x，y）．
（1）若x∈{-1，0，1，2}，y∈{-1，0，1}，求向量

a

∥

b

的概率；
（2）若x∈[-1，2]，y∈[-1，1]，求向量

a

，

b

的夾角是鈍角的概率．

Answer 1

分析：（1）本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的事件和滿足條件的事件可以通過列舉得到事件數，根據等可能事件的概率公式，得到結果．
（2）本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的事件和滿足條件的事件可以利用集合來表示，做出集合對應的面積，利用面積之比得到概率．

解答：解：（1）由題意知本題是一個等可能事件的概率，
設“

a

∥

b

”為事件A，由

a

∥

b

，得x=2y．
Ω={（-1，-1），（-1，0），（-1，1），（0，-1），（0，0），（0，1），（1，-1），（1，0），（1，1），（2，-1），（2，0），（2，1）}
共包含12個基本事件；
其中A={（0，0），（2，1）}，包含2個基本事件．
則P(A)=

2

12

=

1

6

．
（2）設“兩個向量的夾角是鈍角”為事件B，由兩個向量的夾角是鈍角，
可得

a

•

b

＜0，即2x+y＜0，且x≠2y．
Ω={(x，y)|

-1≤x≤2 -1≤y≤1.

   B={(x，y)|

-1≤x≤2 -1≤y≤1 2x+y＜0 x≠2y.

則P(B)=

μB

μΩ

=

1 2 ×( 1 2 + 3 2 )×2

3×2

=

1

3

．

點評：古典概型和幾何概型是我們學習的兩大概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發生事件的個數，而不能列舉的就是幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積、的比值得到．