Question

（2013•棗莊一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），⊙O：x²+y²=b²，點A，F分別是橢圓C的左頂點和左焦點，點P是⊙O上的動點．
（1）若P（-1，

3

），PA是⊙O的切線，求橢圓C的方程；
（2）是否存在這樣的橢圓C，使得

PA

PF

是常數？如果存在，求C的離心率，如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由P（-1，

3

）在⊙O：x²+y²=b²上可求b，由PA是⊙O的切線可得，PA⊥OP即

OP

•

AP

=0，根據向量的數量積可求b，進而可求橢圓C的方程
（2）設F（c，0），由c²=a²-b²可求c，P（x₁，y₁），要使得

PA

PF

是常數，則有（x₁+a）²+y₁²=λ[（x₁+c）²+y₁²]
比較兩邊可得c，a的關系，結合橢圓的離心率的范圍可求

解答：解：（1）∵P（-1，

3

）在⊙O：x²+y²=b²上，
∴b²=4．（2分）
又∵PA是⊙O的切線
∴PA⊥OP
∴

OP

•

AP

=0
即（-1，

3

）•（-1+a，

3

）=0，解得a=4．
∴橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

4

=1（5分）
（2）∵c²=a²-b²，A（-a，0），F（-c，0），P（x₁，y₁）
使得

PA

PF

是常數，則有（x₁+a）²+y₁²=λ[（c+x₁）²+y₁²]（λ是常數）
∵x²+y²=b²
即b²+2ax₁+a²=λ（b²+2cx₁+c²），（8分）
比較兩邊，b²+a²=λ（b²+c²），a=λc，（10分）
故cb²+ca²=a（b²+c²），即ca²-c³+ca²=a³，
即e³-2e+1=0，（12分）
（e-1）（e²+e-1）=0，符合條件的解有e=

5 -1

2

，
即這樣的橢圓存在，離心率為

5 -1

2

．（16分）

點評：本題主要考查了由圓的切線的性質及向量的數量的基本運算求解橢圓的方程，橢圓的性質的應用，屬于知識的綜合性應用．