Question

已知f(x)=sin[

π

3

(x+1)]-

3

cos[

π

3

(x+1)]，則f（1）+f（2）+…+f（2011）+f（2012）=（　　）

• A．0
• B．

  3

• C．1
• D．2

  3

Answer 1

分析：利用和差角公式，可將函數(shù)解析式化為f(x)=sin[

π

3

(x+1)]-

3

cos[

π

3

(x+1)]=2sin(

π

3

x)，結合正弦函數(shù)的圖象和性質，利用分組求和法，可得答案．

解答：解：∵f(x)=sin[

π

3

(x+1)]-

3

cos[

π

3

(x+1)]=2sin[

π

3

(x+1)-

π

3

]=2sin(

π

3

x)
又∵y=2sin(

π

3

x)（n∈Z）的值以6為周期呈周期性變化
且在一個周期內這6項的和為0
又∵2012÷6=335…2
∴f（1）+f（2）+…+f（2011）+f（2012）
=2（sin

π

3

+sin

2π

3

+sin

3π

3

+sin

4π

3

+sin

5π

3

+sin

6π

3

+…+sin

2011π

3

+sin

2012π

3

）
=2（sin

2011π

3

+sin

2012π

3

）
=2（sin

π

3

+sin

2π

3

）=2（

3

2

+

3

2

）=2

3

故選D

點評：本題考查的知識點是兩角和與差的正弦函數(shù)，函數(shù)的值，正弦型函數(shù)的周期性，分組求和法，其中將函數(shù)的解析式化為f(x)=sin[

π

3

(x+1)]-

3

cos[

π

3

(x+1)]=2sin(

π

3

x)是解答的關鍵．