Question

已知橢圓兩焦點坐標分別為,，且經過點．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）已知點，直線與橢圓交于兩點．若△是以為直角頂點的等腰直角三角形，試求直線的方程．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）或或.

試題分析：（Ⅰ）由橢圓的定義可求得和，再根據，可求得。即可求出橢圓方程。（Ⅱ）由點斜式設出直線方程，然后聯立，消掉（或）得到關于的一元二次方程。因為有兩個交點所以判別式大于0，再根據韋達定理得出根與系數的關系。根據題意可知且。用這兩個條件可列出兩個方程。如用直線垂直來解需討論斜率存在與否，為了省去討論可轉化為向量垂直問題用數量積公式求解， 注意討論根的取舍。
試題解析：解：（Ⅰ）設橢圓標準方程為．依題意
，所以．
又，所以．
于是橢圓的標準方程為．                       5分
（Ⅱ）依題意，顯然直線斜率存在.設直線的方程為，則
由得．
因為,得．        ①
設，線段中點為，則
于是．
因為，線段中點為，所以．
（1）當，即且時，
，整理得．           ②
因為，，
所以
，
整理得，解得或．
當時，由②不合題意舍去.
由①②知，時，．
（2）當時，
（ⅰ）若時，直線的方程為，代入橢圓方程中得.
設，,依題意，若△為等腰直角三角形，則
.即，解得或.不合題意舍去，
即此時直線的方程為.
（ⅱ）若且時，即直線過原點.依橢圓的對稱性有,則依題意不能有,即此時不滿足△為等腰直角三角形.
綜上，直線的方程為或或.       14分