Question

【題目】已知函數， .

（1）設，求的最小值；

（2）若曲線與僅有一個交點，證明：曲線與在點處有相同的切線，且.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析：（Ⅰ） ，函數定義域為R，求導數， ，分別令， ，根據函數單調性，確定函數的最小值；（Ⅱ）由曲線與僅有一個交點，可設函數，函數的定義域為，于是對函數求導，研究的單調性及導數為0的根，從而確定函數的最值，曲線與在點處有相同的切線，再求的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ） ，

當時， ， 單調遞減；

當時， ， 單調遞增，

故時， 取得最小值．

（Ⅱ）設，則，

由（Ⅰ）得在單調遞增，又， ，

所以存在使得，

所以當時， ， 單調遞減；

當時， ， 單調遞增，

所以)的最小值為，

由得，所以曲線與在點處有相同的切線，

又，所以，

因為，所以．