Question

已知向量

a

=(x，1-x)，

b

=(lnx，ln(1-x))(0＜x＜1)．
（1）是否存在x，使得

a

⊥

b

或

a

∥

b

？若存在，則舉一例說明；若不存在，則證明之．
（2）求函數f(x)=

a

•

b

在區間[

1

3

，

3

4

]上的最值．（參考公式[lnf(x)]′=

f′(x)

f(x)

）

Answer 1

分析：（1）通過x=

1

2

，求出

a

，

b

的關系，得到

a

∥

b

，計算

a

•

b

說明不垂直．
（2）求出向量的數量積，化簡后求出函數的導數，利用導數值的符號求出函數的單調區間，求出函數的最值．

解答：解：（1）例如，當x=

1

2

時，

a

=(

1

2

，

1

2

)，

b

=(-ln2，-ln2)=-2ln2•

a

，

a

∥

b

因為0＜x＜1，所以0＜1-x＜1，lnx＜0．ln（1-x）＜0.

a

•

b

=xlnx+(1-x)ln(1-x)＜0，從而

a

與

b

不垂直．
（2）函數f(x)=

a

•

b

=xlnx+(1-x)ln(1-x)
f′(x)=1nx+x•

1

x

-ln(1-x)+(1-x)•

-1

1-x

=lnx-ln(1-x)，
令f′(x)=0得x=

1

2

當

1

3

≤x＜

1

2

時，x＜

1

2

＜1-x，f^′（x）＜0，f（x）在區間[

1

3

，

1

2

)上是減函數：
當

1

2

＜x≤

3

4

時，1-x＜

1

2

＜x，f^′（x）＞0，f（x）在區間(

1

2

，

3

4

]上是增函數；
所以f（x）在x=

1

2

時取得最小值，且最小值f(

1

2

)=-ln2，
又f(

1

3

)=f(

2

3

)＜f(

3

4

)=

3

4

ln

3

4

+

1

4

ln

1

4

=

3

4

ln3-21n2
故f（x）在x=

3

4

時取得最大值，且最大值f(

3

4

)=

3

4

ln3-2ln2．

點評：本題考查向量的數量積的應用，考查函數的導數的應用，求出函數的最值是解題的關鍵．