Question

（本小題滿分14分）已知直線L：與拋物線C：，相交于兩點，設點，的面積為.

（Ⅰ）若直線L上與連線距離為的點至多存在一個，求的范圍。

（Ⅱ）若直線L上與連線的距離為的點有兩個，分別記為，且滿足 恒成立，求正數的范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；

（2） 。

【解析】本試題主要是考查了直線與拋物線的位置關系以及直線與圓的位置關系的綜合運用。

（1）由已知， 直線L與拋物線相交，所以得到方程組，得到一元二次方程中判別式大于零，同時又直線L與以M為圓心的單位圓相離或相切，所以點到直線的距離等于圓的半徑得到關系式。

（2）由題意可知，當直線L與以M為圓心的單位圓相交于點   C，D時，由題意可知，當直線L與以M為圓心的單位圓相交于點  C，D時，可得CD的長度，以及F(K)的值，進而借助于不等式得到結論。

解：（1）由已知， 直線L與拋物線相交，所以

，即… (1)

又直線L與以M為圓心的單位圓相離或相切，所以，…（2）

由（1）（2）得：

…………………7分

（2）由題意可知，當直線L與以M為圓心的單位圓相交于點   C，D時，可得，且

令，

令，

，當且僅當取到最小值是

所以，     …………………………14分