Question

已知函數f(x)=a·b^x的圖象過點A(4,)和B(5，1).

(1)求函數f(x)的解析式.

(2)記a_n=log₂f(n),n是正整數，S_n是數列{a_n}的前n項和，解關于n的不等式a_nS_n≤0.

(3)對于(2)中的a_n與S_n，整數10⁴是否為數列{a_nS_n}中的項？若是，則求出相應的項數；若不是，請說明理由.

Answer 1

解析:(1)由=a·b⁴,1=a·b⁵,得b=4，a=,?

故f(x)?=·4^x.?

(2)由題意a_n=log₂(·4ⁿ)=2n-10,S_n=(a₁+a_n)=n(n-9),a_nS_n=2n(n-5)(n-9),由a_nS_n≤0，可得(n-5)(n-9)≤0,即5≤n≤9.故n=5,6,7,8,9.?

(3)∵a₁S₁=64,a₂S₂=84,a₃S₃=72,a₄S₄=40.當5≤n≤9時，a_nS_n≤0;當10≤n≤22時，a_nS_n≤a ₂₂S ₂₂=9 724＜10⁴;當n≥23時，a_nS_n≥a ₂₃S ₂₃=11 592＞10⁴.因此，10⁴不是數列{a_nS_n}中的項.