Question

（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱中，面，，，分別為，的中點．
（1）求證：∥平面； （2）求證：平面；
（3）直線與平面所成的角的正弦值．

Answer 1

（1）證明：連結，與交于點，連結．

因為，分別為和的中點， 所以∥．
又平面，平面， 所以∥平面．            
（2）證明：在直三棱柱中， 平面，又平面，
所以． 因為，為中點， 所以．
又， 所以平面．
又平面，所以．
因為四邊形為正方形，，分別為，的中點，
所以△≌△，．
所以．
所以． 又， 所以平面．   
（3）設CE與C₁D交于點M，連AM
由（2）知點C在面AC₁D上的射影為M，故∠CAM為直線AC與面AC₁D所成的角，又A₁C₁//AC
所以∠CAM亦為直線A₁C₁與面AC₁D所成的角。
易求得

略