Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BC=2，AB=4，CC₁=4，E在BB₁上，且EB₁=1，D、F分別為CC₁、A₁C₁的中點．
（1）求證：B₁D⊥平面ABD；
（2）求異面直線BD與EF所成的角；
（3）求點F到平面ABD的距離．

Answer 1

分析：（1）由已知中直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BC=2，AB=4，CC₁=4，E在BB₁上，且EB₁=1，我們根據勾股定理，可得B₁D⊥DB，再由直三棱柱的性質可得BA⊥B₁D，進而根據線面垂直的判定定理可得B₁D⊥面ABD；
（2）取B₁C₁的中點G，連接GE、GF，則EG∥BD，我們可得∠GEF或其補角為BD、EF所成角，解三角形EGF即可求出異面直線BD與EF所成的角；
（3）設F到面ABD的距離為d，過B作BH⊥AC于H，則BH⊥面ACC₁A₁，求出棱錐F-ABD的體積及底面面積即可求出點F到平面ABD的距離．

解答：證明：（1）由條件得DB=2

2

，DB1=2

2

，BB1=4
∴BD²+DB₁²=BB₁²
∴B₁D⊥DB，
又AB⊥面BCC₁B₁，
∴BA⊥B₁D
∴B₁D⊥面ABD（3分）
解：（2）取B₁C₁的中點G，連接GE、GF，則EG∥BD，
∴∠GEF或其補角為BD、EF所成角（4分）
∵A₁B₁⊥面BCC₁B₁，GF∥A₁B₁∴FG⊥面BCC₁B₁，∴FG⊥GE
在Rt△EGF中，GE=

2

，GF=2，∴tan∠GEF=

2

∴BD與EF所成角為arctan

2

（8分）
（3）設F到面ABD的距離為d，過B作BH⊥AC于H，則BH⊥面ACC₁A₁
∵V_F-ABD=V_B-DAF，∴

1

3

•S△ABD•d=

1

3

•S△ADF•BH
∴

1

3

•

1

2

•4•2

2

•d=

1

3

•(4•2

5

-

1

2

•2•2

5

-

1

2

•4•

5

-

1

2

•2

5

)•

2•4

2 5

∴d=

3 2

2

（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，點面之間的距離計算，（1）的關鍵是根據已知得到B₁D⊥DB，BA⊥B₁D，（2）的關鍵是找出異面直線夾角的平面角，（3）的關鍵是利用翻轉法求出棱錐F-ABD的體積．