Question

觀察下列算式：
1=1²
1+3=4=2²
1+3+5=9=3²
1+3+5+7=16=4²
1+3+5+7+9=25=5²
…
對任意正整數n，你能得出怎樣的結論？用數學歸納法證明你的結論．

Answer 1

分析：利用歸納推理以及所給式子的結構特征，得出結論1+3+5+7+9+…+（2n-1）=n²．
先證明n=1時，等式成立，假設n=k時，等式成立，在此基礎上利用假設證明n=k+1時，等式也成立，從而得到等式對任意的n∈N^*均成立．

解答：解：（1）觀察算式：
1=1²
1+3=4=2²
1+3+5=9=3²
1+3+5+7=16=4²
1+3+5+7+9=25=5²
…
可得1+3+5+…+（2n-1）=n²．
證明：①n=1時，左式=右式=1，等式成立．
②假設n=k時，等式成立，即1+3+5+…+（2k-1）=k²，
則當n=k+1時，
1+3+5+…+（2k-1）+（2k+1）=k²+2k+1=（k+1）²
這就是說n=k+1時，等式成立．
根據①，②，等式對任意的n∈N^*均成立．

點評：本題主要考查歸納推理，用數學歸納法證明不等式，注意式子的結構特征，以及從n=k到n=k+1項的變化，式子的變形是解題的關鍵．