Question

設函數f(x)=lg(2x-3)(x-

1

2

)的定義域為集合A，函數g(x)=

-x2+4ax-3a2

（a＞0）的定義域為集合B．
（1）當a=1時，求集合A∩B；
（2）若A∩B=B，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數f(x)=lg(2x-3)(x-

1

2

)有意義，得A=(-∞，

1

2

)∪(

3

2

，+∞)，當a=1時，函數g(x)=

-x2+4x-3

有意義，得B={x|1≤x≤3}，由此能求出當a=1時集合A∩B．
（2）由函數g(x)=

-x2+4x-3a2

（a＞0）有意義得B=[a，3a]，由A∩B=B，知B⊆A，由此能求出實數a的取值范圍．

解答：解：（1）由函數f(x)=lg(2x-3)(x-

1

2

)有意義，
得：(2x-3)(x-

1

2

)＞0，
即x＜

1

2

或x＞

3

2

，
所以A=(-∞，

1

2

)∪(

3

2

，+∞)，（3分）
當a=1時，函數g(x)=

-x2+4x-3

有意義，
得：-x²+4x-3≥0，
即x²-4x+3≤0，
∴1≤x≤3，∴B={x|1≤x≤3}，
∴A∩B=(

3

2

，3]（6分）
（2）由函數g(x)=

-x2+4x-3a2

（a＞0）有意義得-x²+4x-3a²≥0，
即（x-a）（x-3a）≤0，
∵a＞0，∴a≤x≤3a，
∴B=[a，3a]，（8分）
若A∩B=B，則B⊆A，（10分）
∴

a＞0 3a＜ 1 2

或a＞

3

2

，得0＜a＜

1

6

或a＞

3

2

，
即a∈(0，

1

6

)∪(

3

2

，+∞)（12分）

點評：本題考查集合的交集和集合的包含關系的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．