Question

已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC與平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角P-EC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取PC的中點(diǎn)O，連接OF，證出四邊形AEOF是平行四邊形，得出AF∥OE，則可證出AF∥平面PEC；
（Ⅱ）由已知，可證∠PCA是直線PC與平面ABCD所成的 角，在△PCA求其正弦值即可．
（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延長線于M．連接PM，可得∠PMA是二面角P-EC-D的平面角，在△PMA中計(jì)算可得．

解答：解：（Ⅰ）取PC的中點(diǎn)O，連接OF、
OE．∴FO∥DC，且FO=

1

2

DC
∴FO∥AE             
又E是AB的中點(diǎn)．且AB=DC．∴FO=AE．
∴四邊形AEOF是平行四邊形．∴AF∥OE
又OE?平面PEC，AF?平面PEC
∴AF∥平面PEC       
（Ⅱ）連接AC
∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直線PC與平面ABCD所成的角      
在Rt△PAC中，tan∠PCA=

PA

AC

=

1

5

=

5

5

即直線PC與平面ABCD所成的角正弦值為

6

6

（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延長線于M．連接PM，由三垂線定理．得PM⊥CE
∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角．      
由△AME∽△CBE，可得AM=

2

2

，∴tan∠PMA=

PA

AM

=

2

∴二面角P一EC一D的余弦值為 

6

6

點(diǎn)評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角、線面角的計(jì)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力