Question

【題目】如圖，在四棱錐中，側(cè)面是等邊三角形且垂直于底面，底面是矩形，，是的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）點(diǎn)在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）證明CEAD，結(jié)合CEPD，即可證得平面。

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出各點(diǎn)坐標(biāo)，由直線與直線所成角的余弦值為求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，再求出平面，平面的法向量，利用法向量夾角公式得解。

（1）平面平面，平面平面，平面，

平面，又平面，.

側(cè)面是等邊三角形且是的中點(diǎn)

又

平面

（2）如圖，以為原點(diǎn)，以為軸正方向，以為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，

，，

點(diǎn)在棱上，設(shè)，

則，

直線與直線所成角的余弦值為.

又，解得：

即為的中點(diǎn)

，，

設(shè)平面的法向量為，則

令，則

設(shè)平面的法向量為，則

令，則

二面角的余弦值為.