Question

已知函數f（x）=|x-1|+|x-2|．
（1）求函數f（x）的最小值；
（2）（文科）已知k為非零常數，若不等式|t-k|+|t+k|≥|k|f（x）對于任意t∈R恒成立，求實數x的取值集合；
（3）（理科）設不等式f（x）≤2的解集為集合A，若存在x∈A，使得x²+（1-a）x=-9求實數a的最小值．

Answer 1

解：（1）f（x）=
∴x＞2時，2x-3＞1；x＜1時，3-2x＞1；1≤x≤2時，f（x）=1
∴f（x）_min=1
（2）∵|t-k|+|t+k|≥|（t-k）-（t+k）|=2|k|
（|t-k|+|t+k|）_min=2|k|
問題轉化為f（x）≤2 即|x-1|+|x-2|≤2
顯然由 得
得
∴實數x的取值集合為
（3），由x²+（1-a）x=-9得
由函數在上單調遞減∴
∴∴
故實數的最小值為
分析：（1）先對函數進行化簡可得f（x）=，結合函數的性質可求函數的最小值
（2）由|t-k|+|t+k|≥|（t-k）-（t+k）|=2|k|
（|t-k|+|t+k|）_min=2|k|
|t-k|+|t+k|≥|k|f（x）對于任意t∈R恒成立轉化為f（x）≤2 即|x-1|+|x-2|≤2，解絕對值不等式可得x的取值集合
（3）由（1）可得，由x²+（1-a）x=-9得
結合函數在上單調性 及 從而有，解不等式可求a的取值范圍，進而可求實數a的最小值
點評：（1）利用絕對值的幾何意義是解決本題的關鍵（2）不等式的恒成立往往轉化為求解函數的最值問題，（3）單調性的應用是解決此類問題的重要方法